만약 진동계가 감쇠가 있는 경우라면 기본 해 및 특수 해 는 다음과 같이 구해진다.
특수 해인 식(4.15)를 진동방정식인 식(4.13)에 대입하여 정립하면
여기서 식을 간략화하기 위해서 k/m = ω2, c/m = 2ωξ 를 사용하고 sin 항과 cos 항을 0으로 두면
으로 되고, β = p/ω 를 사용하여, 다시 한번 정리하면
가 된다.
그리고 G1, G2 에 관한 연립방정식을 풀면,
그러므로 특수 해는 식(4.16)과 같이 구해진다.
여기서, 외력의 작용 방향과 이에 따른 응답과의 시차를 의미하는 위상각은 식(4.17)과 같다.
그러므로 최종적으로 구한 일반해 x(t) 는 식(4.18)이 된다.
식(4.18)의 두 번째 항은 진동계의 초기조건에 의해 결정되는 진동 성분으로 감쇠를 하는 진동계에서는 시간의 경과와 함께 점점 사라지는 진동이므로 일시적인 응답(Transient Response)이라 부르고, 장시간에 걸쳐 외력이 작용할 때는 별 의미를 갖지 않는 진동 성분이 된다. 이에 반하여 첫 번째 항은 외력에 반응하여 계속하여 진동하는 성분으로 충분한 시간이 지난 뒤의 진동은 일정 진폭을 갖는 정상상태의 진동이 된다.
여기서, 식(4.19)의 첫 번째 변수인 F0/k 는 정적 하중 F0 에 대한 정적 변위를 나타내고, 두 번째 변수는 정적인 변위에 대한 동적인 변위의 비를 나타내고 있으므로 동적응답배율(Dynamic Magnification Factor)라고 한다.
그림-4.2 및 그림-4.3은 동적응답배율 D와 위상각 θ를 표시한 그림이다.
그림에서 알 수 있는 것처럼 D와 θ는 외력의 진동수를 진동계의 고유진동수로 나눈 진동수비 β와 감쇠비 ξ와의 함수로 표현되며, 진동수비의 변화에 따라 동적응답배율과 위상각 θ가 어떻게 변화하는가를 감쇠비 ξ를 변수로 하여 표현한 것이다.
동적응답배율 D가 최대가 되는 값은 식(4.20)의 제곱근 안의 값이 최소가 될 때로서 이때의 진동수비를 β를 βm 이라고 하면 식(4.21)이 얻어진다.
그러므로 식(4.21)과 같은 진동수비를 가질 때의 최대 동적응답배율은 식(4.22)와 같이 된다.
감쇠가 없는 경우에는 βm =1이 될 때, 최대의 동적응답배율 갖게 되며, 감쇠가 있는 진동계에서는 βm < 1이 되므로 동적응답배율이 최대값을 갖는 진동수비는 항상 1보다 적은 값을 갖는다.
그리고 통상적으로 동적응답배율이 최대값을 갖는 진동수비를 공진점이라고 부른다.
감쇠가 없는 경우에는 진동수비가 1 되는 점이 공진점이 되나, 감쇠가 없는 경우에도 진동수비가 1이 되는 점을 공진점이라고 칭하기로 한다면, 식(4.22)에서 진동수비를 1로 대입하여 얻어지는 진폭의 크기 D=1/(2ξ) 가 최대값은 아니지만 공진배율이 된다.
또한 공진의 경우 정상진동의 진폭이 입력의 진폭보다는 큰 값을 갖고 있으나, 이는 진동계의 변위가 순간적으로 최대가 되는 것이 아니고 시간의 경과와 함께 점차 증가하다가 수렴하게 된다.
즉, 입력은 에너지의 형태로 진동계에 전달되고, 진동계에서는 에너지를 소비하는 감쇠력이 입력의 에너지와 평형을 이루는 시간까지는 응답이 증가하게 되며 만일 감쇠가 없는 진동계라면 응답은 무한대로 발산하게 된다.
또한 입력의 변위 방향과 응답의 변위 방향과의 위상차를 나타내는 식(4.17)을 그림으로 나타내면 그림-4.3과 같이 된다.
그림에서 알 수 있는 것처럼 공진 때의 위상차는 감쇠가 있는 경우 및 감쇠가 없는 경우를 불문하고 90˚의 위상차를 갖는다.
위상차가 0˚ 또는 180˚ 라는 말의 물리적인 의미는 다음과 같다.
0˚의 경우는 외력의 진행 방향과 응답의 진행 방향이 완전히 일치하는 것을 의미하며,
180˚의 경우에는 외력과 응답의 진행 방향이 완전히 바뀌는 것을 의미한다.
즉, 감쇠가 없는 경우에는, 외력의 진동수가 진동계의 진동수보다 적은 공진점 이하의 진동수로 작용하는 외력에서는 외력의 방향과 같은 방향으로 응답이 발생하나, 외력의 진동수를 점점 빨리하여 공진점을 지나는 순간에서는 외력의 방향과 응답의 방향이 바뀌게 된다.
그리고 감쇠가 있는 경우에는 이러한 현상이 서서히 일어난다.
자유진동에서 강제진동까지 따라오신 분들은 정말 수고 많이 하셨습니다.
이제 동역학에서 이보다 복잡한 수식은 없으며 복잡은 하지만 결코 어려운 수학은 아닙니다.
감쇠가 있는 강제진동의 해(식-4.18)에 대하여 물리적인 의미를 다시 한번 살펴보겠습니다.
식을 살펴보면 외력이 0인 경우의 일반 해와 강제진동의 특수 해, 두 부분이 선형으로 합산된 형식으로 표현되고 있습니다.
일반 해는 자유진동에서 공부했으며, 반드시 구조물의 고유주기로 진동합니다.
반면에 특수 해의 부분은 어떻습니까. 정현파 함수에 적힌 진동수는 외력의 진동수인 P로 표현되어 있습니다.
수학적으로 풀어 본 응답이 서로 다른 진동수로 표현된다는 것은 무엇을 의미할까요.
즉, 자유진동의 해에서 알 수 있었던 것처럼 구조물은 자기의 고유주기로 움직이려고 하는 특징이 있습니다.
반면에 구조물이 아무리 자기의 고유주기를 갖고 있더라도 외력은 구조물에게 외력 자신의 진동수로 흔들리게 만든다는 의미를 갖습니다.
그리고 진폭의 크기는 두 개의 진동수가 일치하면 할수록 응답의 진폭이 커지지만, 두 개의 진동수가 상이하면 상이할수록 응답의 배율은 공진점을 중심으로 하여 점점 떨어집니다.
즉 구조물은 외력의 진동수에 따라 진동하면서, 외력의 진동수가 구조물 자신의 진동수와 근접하면 멋진 호응을 하면서 흔들지만, 외력의 진동수가 구조물 자신의 진동수와 근접하지 않으면 무반응으로 대응하는 것입니다.
서로 마음이 맞아야 사랑을 하게 되는 남녀 간의 사랑과 동일합니다. 모든 자연의 이치가 이러하겠지요.
그럼, 지진에 대비하는 면진구조물이란 어떤 성질을 이용하는 것일까요. 이는 외력의 일종인 지진파에는 낮은 진동수의 성분이 별로 없다는 사실을 파악했기 때문입니다.
즉, 지진의 진동수 특성을 파악했기 때문에 근대과학의 힘으로 지진과 사랑을 나누지 않게 구조물의 고유주기를 길게 하는 것뿐입니다.
다음으로 공진할 때의 위상각의 의미에 대하여 살펴보겠습니다.
많은 분들이 동적 배율에 못지않게 중요한 그림-4.3의 위상각에 대해서는 지나쳐 버립니다.
사각형의 그림으로 표현되어 있어 지나치기 쉬운 것이 감쇠가 없는 경우의 위상각입니다.
감쇠가 없는 경우에는 진동수비가 1이 되기 전까지는 위상각이 0도 이지만, 진동수비가 1를 넘는 순간에 180도로 바뀌는 현상이 숨은 그림처럼 그려져 있어 간과하기 쉽습니다.
그리고 감쇠비가 증가하면 증가할수록 위상각이 0도에서 180도로 서서히 변화하고 있습니다.
이것은 무엇을 의미하고 있을까요. 즉 감쇠가 없는 경우, 외력의 진동수를 점차 증가시키면 공진이 일어나기 전까지는 외력이 작용하는 방향과 구조물의 응답 방향은 동일하지만, 공진이 일어난 이후부터는 갑자기 외력의 방향과 응답의 방향이 반대되는 현상을 설명하고 있습니다.
여러분들도 판 위에 흔들거리는 장난감을 놓고 수평으로 흔들어 보십시오. 천천히 흔드는 동안에는 오뚜기가 같은 방향으로 움직일 것입니다. 그러다가 흔드는 속력을 빨리하면 어느 순간 오뚜기의 흔들림이 흔드는 손과 반대 방향으로 움직이는 것을 느낄 수 있으며, 그 순간이 공진점이 됩니다.
이러한 공진현상을 제진장치라는 것에 이용하기도 합니다.
건물의 옥상에 건물과 고유주기가 일치하는 추를 매달아 놓았다고 합시다. 지진 시에 건물은 건물의 고유주기로 흔들립니다.
그러면 옥상에 설치된 추는 건물과 공진이 맞아 엄청나게 흔들리게 되지만 공진 때의 위상각이 180도가 되므로, 추가 움직이는 방향이 건물과 반대 방향이 되어 자신은 흔들리더라도 건물은 흔들리지 못하게 하는 방향으로 작용하게 됩니다.
무협지에 자주 등장하는 독약에 대한 중독은 독약으로 처방하는 한방요법과 같은 처방입니다.
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