진동론제2편 Part1_강제진동(감쇠가 없는 경우)

 

시작하면서

 

필자의 경우에는 진동론을 공부함으로써 물리학 및 수학에 대한 계산 결과를 신앙처럼 믿는다. 현재 우주의 온도가 절대온도로 272.5도라는 관측으로부터 우주의 나이 138억 년을 도출한 우주론의 계산 결과과 그렇다.

 

전 편인 자유진동에서는 외력의 항이 없는 문제에 대한 해를 풀어보았다.

그리고 힘에 대한 역학관계를 정확하게 규명할 수만 있으면 수식으로 구한 해는 물리현상을 정확하게 표현하고 있다는 사실도 확인했다.

 

강제진동은 일질점계에 대한 외력의 항을 사인파와 같은 가장 단순한 정현파를 대상으로 문제를 풀고 있다.

그래서 다질점계로 표현되는 지진파와 같은 임의 형태의 외력에 대한 해를 구해야 하는 실제 문제에 어떤 도움이 되겠냐고 생각하는 분들이 계실 수도 있다.

하지만 그런 분들에게 일질점계의 강제진동에 대한 해를 이해한다는 것은 다질점계에 대한 임의의 외력에 대한 해를 구하는 것과 별반 다르지 않다는 사실을 알려주고 싶다.

 

위대한 수학자 푸리에는 임의 파형은 정현파의 합산에 불과하다는 사실을 수식으로 표현하여 근대 응용과학의 근간을 마련했다.

그리고 다질점계는 일질점계의 합산에 불과하다는 모드중첩의 이론을 이해하면, 모든 진동해석이 일질점계 조화진동의 해로부터 시작된다는 사실을 가슴으로 이해된다.

 

제4장 강제진동 (정현파 하중)

 

그림-2.1과 같은 진동계가 진폭이 F₀이고, 원 진동수가 p인 조화하중(調和荷重)을 받는다고 하면 진동계의 운동방정식은 식(4.1)으로 표현된다.

 

외력 항이 있는 운동방정식의 일반 해는 외력 항이 없는 경우의 해인 기본해 Complementary Solution) x_c(t) 와 특수 해(Particular Solution) x_p(t) 의 합으로 표시될 수 있다.

왜 그렇지(?) 라는 의문은 갖지 말고 일단 믿고 시작하자.

 

 

 

4.1 감쇠가 없는 경우 (Undamped System)

 

가장 단순한 문제인 감쇠를 갖지 않는 진동계의 진동방정식은 식(4.3)이 되며,

 

 

다음으로, 일자유도계의 조화진동에 의한 응답은 입력과 같은 조화진동의 형태를 보이게 되며 특수 해는 식(4.5)와 같이 놓을 수 있다.

 

가정된 해는 원래의 진동방정식인 식(4.3)을 만족해야 하므로 식(4.5)을 식(4.3)에 대입하면

 

이 되고, 이를 sin 항과 cos 항으로 분리하여 정리하면

 

이 되고, 위의 식이 항상 0 이 되기 위해서는 sin 항과 cos 항의 값은 0이 되어야 하므로 여기서, β=p/ω 이라는 매우 중요한 새로운 변수가 도입되었다.

 

외력의 진동수와 진동계의 고유진동수의 비로 표시되는 이 값은 물리적으로 중요한 의미가 있으며 움직이는 물체의 현상을 취급하는 학문에서는 자주 등장하는 중요한 변수 중의 하나라고 할 수 있다.

그러므로 기본 해와 특수 해의 합으로 표시되는 일반해는 식(4.6)과 같이 되며,

 

진동계의 초기조건으로 x(0) = 0 을 식(4.6)에 대입하면 x(0) = A = 0 이 되고, 식(4.6)을 한번 미분한 속도 값인 식(4.7)에 x'(0)=0 을 적용하면 식(4.7)이 된다.

 

그러므로 최종적인 해는 식(4.8)과 같이 된다.

 

식(4.8)의 오른쪽 항을 살펴보면 F₀/k 는 Hook의 법칙에서 정적 하중을 가했을 때의 정적인 변위를 나타내는 값이 된다.

그리고 두 번째 부분인 1/(1-β²) 는 조화진동을 작용했을 때의 동적 변위와 정적 변위의 비를 나타내는 동적증폭계수(Dynamic Factor)를 의미한다.

우리들은 식(4.8)를 푸는 과정에 있어서 β≠1라는 가정하에서 해를 구한 것이다. 그러나 만약 β=1가 되는 경우라면 특수 해는 식(4.9)의 형태로 표현된다.

 

그러므로 이를 한번 미분, 그리고 두 번 미분한 식은

 

가 되고, 이를 식(4.3)에 대입하여 풀면

 

가 되고, 전과 같이 sin 항과 cos 항으로 정리하면

 

가 되고, 위의 식이 항상 0이 되기 위해서는 sin 항 및 cos 항의 값이 0이 되어야 하므로

 

G₁, G₂ 에 관한 연립방정식을 얻을 수 있고, G₁, G₂ 에 대한 연립방정식을 풀면, G₂=0, G₁ = -F₀/2mω 가 구해진다.

그러므로 특수해는

 

가 되고, 일반해 x(t) 는 식(4.10)과 같이 된다.

 

앞에서와 같이 초기조건으로 x(0)=0 을 식(4.10)에 대입하면 x(0) = A = 0 이 되고, 식(4.10)을 한번 미분한 식(4.11)에 x'(0)=0 의 초기조건을 대입하면 식(4.11)이 된다.

 

그러므로 일반해 x(t) 는 식(4.12)와 같이 구해진다.

 

여기서 β 값이 1에 근접한 경우와 β 값이 매우 큰 값일 때의 식(4.8)과 β가 1일 경우의 식(4.12)을 그림으로 나타내면 그림-4.1과 같다.

β가 1에 근접하면 외력의 주파수와 진동계의 주파수와의 차이값을 기본주파수로 하는 진동에 외력의 진동수 성분을 포함하는 비트형 진동 형상을 갖는다.

그리고 β가 1일 경우에는 시간의 경과와 함께 점점 증가하는 공진 때의 진동 현상을 나타내고 있다.

 

 

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