진자가 외부의 어떤 힘으로 운동을 시작하고, 그 이후에는 외부에서 아무런 힘도 받지 않는 상태를 생각하면, 진자의 진동은 규칙적인 왕복운동을 하면서 진폭이 점점 줄어들다가 마지막에는 정지하게 될 것이다.
이러한 운동을 자유진동이라 하며 이러한 상황을 수식적으로 표현하면 식(2.1)에서 우변 항을 0으로 두는 것과 같다.
식(3.1)로 표현된 선형2계 상미분방정식(線形2階 常微分方程式)의 해를
라 가정하고, 이를 한번 미분 그리고 두번 미분하면,
가 된다. 식(3.2)를 식(3.1)의 해라고 하였으므로, 식(3.2)을 식(3.1)에 대입하여 정리하면
식(3.3)과 같이 되며, 이 식이 항상 0 이 되기 위해서는 우변 항
은 시간에 따라 변화하는 값으로 0이 될 수 없고, 괄호 안의 값이 0이 되어야 한다.
그리고 (3,4) 식에 대하여 S에 관한 이차방정식의 근을 구하면,
식 (3.5)가 된다. 그러므로 식(3.1)의 해는
식(3.6)으로 표현되며, 만약 s =s1 = s2 가 되는 특수한 경우에는 해의 형태가
식(3.7)과 같이 표현된다.
일단 특수해는 왜 이렇게 표현되는지를 여기서는 따지지 말자. 필자도 잘 모른다.
여기서 D1, D2는 임의의 적분상수이다.
만약, 감쇠가 없는 진동계를 가정하면 식(3.1)에서 c=0 으로 둔 것과 같으므로, 식(3.5)에서 c = 0 으로 놓으면
식(3.8)과 같이 된다. 여기서 ω는 감쇠가 없는 진동계의 원 진동수이며 우리가 상식적으로 알고 있는 것처럼, 구조물의 강성이 강하면 강할수록 진동수는 빨라지고 질량이 크면 클수록 진동수가 늦어지는 물리적인 특성을 잘 반영하고 있다.
그리고 식(3.8)의 값을 식(3.6)에 적용하면
식(3.9)가 된다. 그러나 복소수로 표현된 식은 표현의 간결함은 있으나, 수식이 갖는 물리적인 의미를 파악하기에는 불편함이 있으므로 아래와 같은
Euler 공식을 이용하고, 임의의 적분상수 D1, D2 를 아래와 같이
복소수의 형태로 놓고, 식(3.9)의 표현을 달리하면
가 된다. 여기서 적분상수들은 임의의 새로운 적분상수로 바꿀 수 있으므로
새로운 적분상수 A, B를 위와 같이 놓으면,
식(3.9)는 식(3.11)과 같이 되며 진동의 형태를 나타내는 가장 기본적인 형태가 된다.
교과서에 따라서는 이러한 과정을 생략하고 자유진동의 해를 (3.11)로 바로 시작하는 교과서도 많다.
여기서, 적분상수 A, B는 진동계의 초기조건에 의해 결정되는 값이다. 즉 미분방정식의 해를 구한다는 것은 적분상수를 구하는 과정이다.
예를 들어, 초기조건으로 초기변위 및 초기속도
가 주어졌을 때의 해를 구하기 위하여 식(3.11)을 한번 미분한 값으로
초기값인 t = 0 을 식(3.11) 및 식(3.12)에 대입하면
적분상수 A, B가 초기조건의 값으로 표현된다.
그러므로 적분상수 A, B 대신에 진동계의 초기값을 식(3.11)에 대입하면 초기조건 하에서의 자유진동은
식(3.13)과 같이 된다.
식(3.13)는 가장 간단한 조화진동의 형태로, 그림-3.2와 같이 초기조건에 따라 위상각을 갖는 x(t)의 고유주기가
로 주기적으로 변동하고 있는 형상을 나타내는 파형이 된다.
이러한 T를 진동계의 고유주기라 하며, 주기의 역수로 표현되는 고유진동수는
으로 되고, 이를 원 진동수로 표현하면
의 관계가 있다.
또한 고유주기 T를 질량 m과 진동계의 강성 k를 사용하여 표현하면
으로 나타낼 수 있으며 구조물의 진동형상을 나타내는 가장 기본적인 물리량이 된다.
그리고, 식 (3.13)을 좀 더 간단히 표현하기 위하여 고등학교에서 배운 삼각함수의 공식과
그림-3.2에 나타낸 삼각형(三角形)의 표현법을 활용하면
식(3.14)로 표현된다.
여기서,
그리고 식(3.15)은 그림-3.2와 같이 Argand Diagram으로 나타내면, 초기변위와 초기속도의 형태로 표현되는 두 회전벡타의 실수값으로 나타낼 수 있다.
여기서 잠깐, 그림-3.1의 그래프를 보면서 감쇠가 없는 자유진동에 대한 미분방정식의 해가 얼마나 깔끔하게 유도되었는지 한번 스스로 감탄할 필요가 있다. 여기서 감동하지 못하면 계속되는 수식이 지루할 뿐이다.
흥미를 느끼면 진동론이라는 길을 완주하게 되고 지루함을 느끼면 결코 진동론을 완주할 수가 없다고 필자는 생각한다.
초기변위 및 초기속도의 의미가 본인 생각과 같이 정확히 그래프에 표현되고 있지 않나?
위상각에 대한 정보까지 알아차렸다면 당신은 이미 상당한 수준에 도달하고 있다.
감쇠를 갖는 진동계의 자유진동은 식(3.5)에서 제곱근 안에 있는 값의 부호가 양수인지 음수인지, 혹은 0인지의 여부에 따라 세 가지의 해로 나누어진다.
3.2.1 임계감쇠 (Critical Damping)의 경우
식(3.5)의 제곱근 내부의 값이 0일 때
의 관계를 얻을 수 있으며, 이때의 감쇠정수를 라고 하면,
식(3.17)로 표현되며 이러한 감쇠값을 임계감쇠라 한다. 진동계가 임계감쇠를 갖는 경우의 진동방정식 해는 이미 설명된 것처럼 식(3.7)으로 표현된다.
변위의 해는 식(3.18)으로 표현되며, 이를 미분한 속도의 해는 식(3.19)로 되어, 초기조건을 식(3.18) 및 식(3.19)에 대입하면
가 되고, 초기조건으로 표현된 적분상수의 값을 식(3.18)에 대입하면
임계감쇠를 갖는 자유진동계의 해는 식(3.20)과 같이 되고, 이를 그림으로 표현하면 그림-3.3과 같다.
그림에서 알 수 있는 것처럼 임계감쇠의 진동계는 영구변위도 갖지 않고 진동도 없는 경계면에 있는 진동 형상이다.
3.2.2 감쇠를 갖는 경우 (Under Damped System)
감쇠값이 임계감쇠값보다 적다면 식(3.5)에서 제곱근 내부의 값이 음수가 되므로
으로 표현되며, 이러한 경우의 감쇠값은 임계감쇠값에 대한 비율로 표시하면 편리한 점이 많다.
그러므로 감쇠비라는 새로운 변수 ξ를 아래와 같이 정의하면
식(3.21)으로 쓸 수 있으며, 감쇠비를 식(3.5)에 대입하면
가 된다. 여기서 ωd는 감쇠계의 원 진동수이며 일반적인 구조계의 감쇠비는 그다지 큰 값을 갖지 않기 때문에 비감쇠계의 원 진동수 보다는 약간 적은 값을 갖는다.
그리고 ωd/ω 와 ξ와의 관계를 좀더 자세히 살펴보기 위하여, 식(3.23)을 그림-3.4와 같이 표시하면 두 변수를 좌표축으로 하는 원으로 나타나고, 그림에서 알 수 있는 것처럼 감쇠비가 0에 접근함에 따라 감쇠계의 진동수와 비감쇠계의 진동수가 거의 일치한다.
식(3.22)을 식(3.6)에 대입하여 감쇠계의 자유진동의 응답을 구하면
식(3.24)과 같이 표현되며, 앞과 동일하게 초기조건을 적용하여 적분상수 A, B를 결정하고, 이 값을 식(3.24)에 대입하면
식(3.25)가 구해진다. 그리고 이 식을 회전벡타의 형식으로 표현하면
식(3.26)이 된다.
여기서,
그러므로 감쇠계에 대한 자유진동의 응답인 식(3.26)은 그림-3.5와 같이 표현된다.
그림에서 알 수 있는 것처럼 식(3.26)은 감쇠계의 원 진동수 또는 주기를 갖고 중립축에 대해서 진동하는 형상을 나타낸다.
그리고 이를 회전벡타로 나타내면 벡타의 크기가 지수적으로 감소하는 것을 제외하고는 그림-3.1과 동일하다.
지금까지 일질점계 자유진동에 대한 풀이 과정을 열심히 따라오신 분은 정말 수고 많으셨습니다. 본 교재를 따라서 공부하고자 하는 분들을 위해서 가능한 수식의 진행 과정을 생략하지 않고 기술하였습니다.
필자가 고리원자력을 시작으로 미국에서 도입된 원자력발전소 건설에 참여하면서 가장 이해하기 어려웠던 부분이 응답 스펙트럼이라는 것이었습니다. 그리고 응답 스펙트럼에 관한 책을 펼치면 어김없이 진동방정식이 등장하였으며, 진동방정식을 독학으로 공부한다는 것이 참 어렵다는 기억이 있습니다. 왜냐하면 수식은 책을 따라가더라도 수식이 내포하고 있는 물리적인 개념을 이해하지 못했기 때문입니다.
교과서에서는 다양한 독자층을 상대하기 때문에 수식의 물리적인 의미를 장황하게 기술하지 못하는 부분이 있습니다.
동역학을 공부하고자 하는 분들은 수식을 적어도 한번은 따라갔으면 하는 바람입니다. 그러나 수식을 외울 필요는 전혀 없습니다. 직접 풀어보면서 그렇게 풀 수 있다는 사실을 확인하는 것으로 충분합니다.
그러면, 일자유도계의 자유진동을 나타내는 수식이 내포하고 있는 물리적인 의미를 몇 가지 기술해 보겠습니다. 이러한 개념을 이해하면 다음 편에서 설명하게 되는 강제진동에 대한 물리적인 의미를 더욱 정확하게 이해할 수 있습니다.
첫째, 식(3.24), (3.25), (3.26)에서 기술된 해에서 알 수 있는 것처럼 어떤 진동계에 변위, 속도 등과 같은 초기조건을 가한 후 자유진동을 시키면, 구조물은 반드시 질량과 강성으로 결정되는 구조물의 고유주기만으로 움직인다는 것입니다.
당연한 사실이지만 어떤 다른 요인도 관여하지 않는다는 것입니다. 즉 (자유진동의 경우) 구조물은 자기의 고유주기만으로 움직인다. 다음 편에서 설명되는 조화진동이라는 외력을 가할 때는 구조물은 외력의 주기로 움직인다는 사실이 나옵니다.
두 사실이 잠시 혼돈을 초래할 것이지만, 두 사실이 수식을 통하여 가슴으로 이해가 되면 진동론은 통달한 것입니다.
둘째, 일상생활에서 우리들이 인지하고 있는 것처럼 자연계에 존재하는 모든 감쇠가 있는 구조계는 진폭의 크기가 줄어든다는 사실입니다.
일질점계의 미분방정식을 보면, 속도에 비례하는 형식으로 표현된 감쇠 항목이 있습니다. 그러나 감쇠라는 것이 반드시 속도에 비례하는 성질이 있어서 점성감쇠로 설정된 것이 아닙니다.
단지 미분방정식을 좀 쉽게 풀어보려고 하는 과정에서 후크의 법칙에 의한 탄성력은 변위에 비례하고, 뉴턴의 법칙에 의한 관성력은 가속도에 비례하니, 속도에 비례하는 항목으로 설정하는 것이 미분방정식을 더욱 쉽게 풀 수 있으니 도입된 항목이고, 속도에 비례하여 에너지를 흡수하는 메커니즘을 설명하려고 하니 유체의 점성감쇠를 설명하는 것에 지나지 않습니다.
후크의 법칙 및 뉴턴의 법칙은 자연계에 존재하는 절대적인 자연법칙이지만, 속도에 비례하는 점성감쇠는 절대적인 자연법칙이 아닙니다.
따라서 절대적인 자연법칙이 아닌 항목을 도입하여 해석을 수행하기 때문에 수학으로 푼 해석이 실제의 운동을 정확히 표현하지 못하는 것입니다.
셋째, 초기조건에 의해서 결정되는 자유진동에서는 큰 의미를 부여하지 못하지만, 식(3.28)과 같이 위상차가 발생한다는 것입니다. 즉 외력을 가하면 응답이 최고점에 달하게까지는 약간의 시간이 소요된다는 것입니다.
다음 편에서 자세히 기술할 것이지만 외력이 가장 큰 시각에서 응답이 가장 크지 않고 약간의 시차를 두고 최대응답이 발생한다는 것입니다.
다음에 연속되는 "제진구조물의 개념에 대하여"라는 항목에서 설명하려고 합니다만, 공진에서의 위상차를 이용하여 제진구조물의 이론이 성립되게 됩니다.
넷째, 모든 교과서에서는 진동방정식의 해를 (지수함수)라고 하자고 하면서 시작되고 있습니다.
그러면 왜 해를 그렇게 놓고 시작하느냐에 대해 의문을 가질 수 있습니다. 하지만 그런 의문은 가질 필요가 없습니다.
미분방정식은 반드시 해가 있는 것은 아닙니다. 해를 구하지 못하는 미분방정식이 대부분입니다.
파동론에서 유명한 나비에 방정식을 포함하여 유명한 미분방정식들은 수학자들이 푸는 해법을 발견했기 때문에 이름이 붙여졌습니다.
앞에서 속도에 비례하는 점성감쇠로 미분방정식을 작성한 이유가 단지 쉽게 풀기 위해서라고 했습니다. 감쇠를 임의의 다른 수식으로 표현하면 미분방정식의 해를 구하지 못하는 경우도 발생하기 때문입니다,
이에 반하여 FEM이라는 수치해석 방법은 어려운 방정식을 작성할 필요도 없이 컴퓨터와 시간만 주어진다면 해석하지 못할 현상이 없으므로 수많은 사람이 공부하고 있습니다.
그러나 FEM 해석이란 주어진 특별한 경우의 답을 구하는 것입니다. FEM으로 일반적인 해를 알 수는 없습니다.
어떤 매개변수에 의한 경향을 알려고 하면 수많은 수치해석을 수행해야 합니다. 그러나 수학적인 해법으로 풀면 각종 매개변수들이 수식 내부에 포함되어 있어서 매개변수에 의한 경향을 한 눈으로 파악할 수 있습니다.
예를 들어 어떤 부지런한 학생이 FEM의 위력을 실감하여 수많은 FEM 해석을 통하여 이러저러한 경향을 정리하여 논문으로 발표했다고 합시다. 그리고 같은 문제에 대하여 게으르지만, 머리가 우수한 학생은 방정식을 세우고 연필로 답을 구했다고 합시다.
그러면 FEM 해석을 통하여 알게 된 사실들은 연필로 구한 일반해의 특별한 경우에 지나지 않습니다.
아무리 구름을 타고 날아 보았자 부처님 손바닥 안에서 놀고 있는 손오공의 신세와 같은 것입니다.
따라서 진동방정식을 수치해석으로 풀지 않고 이렇게 연필로 푸는 공부를 하는 것입니다.
어떤 유명한 수학자의 박사학위 논문은 연필로 기술한 종이 단 한 장이었다고 합니다.
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