말뚝기초의 탄성해석법(변위법)에 대한 이해

Ⅰ. 서론

앞선 2개의 컨텐츠에서 계속 언급한 바와 같이 말뚝기초를 설계하기 위해서 현재의 실무에서는 아래의 4가지의 방법이 사용된다.

Method 1: 기초 상단을 고정단으로 해석한 후, 말뚝반력과 변위는 탄성해석법(변위법)으로 계산하는 방법

Method 2 : 말뚝을 가상고정점(1/β)까지 모델링하는 방법

Method 3 : 말뚝전체를 포함한 Full Modeling 방법(지반 Spring은 말뚝의 절점별로 재하)

Method 4 : 말뚝기초의 강성을 기초상단 1절점에 6자유도 스프링으로 모델링 하는 방법

지난 컨텐츠 들에서는 Method2와 Method4에 대한 내용을 기술하였으며, 이번 원고에서는 실무에서 가장 많이 쓰이는 Method1 즉, 변위법에 대한 내용을 기술해보고자 한다.

변위법에 의한 설계방법은 엑셀로 작업이 가능하여 각 설계사별로 선배들이 만들어 놓은 말뚝기초용 엑셀시트를 사용하기도 하고, 한길IT제품과 같은 설계자동화 프로그램의 베이스이기 때문에 실무에서 가장 많이 쓰이는 형식이다.

그러나 “자동화”라는 장점에 함몰되어 설계의 근간이 되는 이론을 등한시 하기 쉽기에 이에 대한 내용을 간략하게나마 정리해보고자 하였다.

Ⅱ. 말뚝 변위법(탄성해석법)에 대한 설계기준

2.1 변위법 적용방법

변위법에 의한 말뚝기초 설계는 말뚝을 직접 모델링하지 않고, 말뚝기초 도심에 작용하는 단면력을 통해 확대기초 전체의 변위를 산정하는 것으로부터 시작한다.

확대기초의 변위가 산정되면,

• 확대기초를 강체로 보고,

• 확대기초의 변위(연직, 수평, 회전 변위)를 매트릭스를 매개로 하여,

• 앞서 산정된 말뚝기초 전체에 작용하는 수평력, 연직력, 회전모멘트에 관하여,

평형 방정식을 푸는 방법(이른바 변위법)을 이용하여 말뚝머리 반력을 구하는 방법이다.

변위법 계산에는 다음과 같은 가정이 적용된다.

2.2 도로교 설계기준(2008)에서 제시하고 있는 말뚝변위법

2.2.1 말뚝의 스프링 정수

변위법에서는 말뚝의 스프링 정수를 이용하여 계산을 수행하게 되는데, 말뚝의 축방향 스프링 정수는 도로교설계기준(2008)의 5.8.8.1에 설명된 내용으로 쉽게 구할 수 있다.

그렇다면 수평방향 스프링 정수는 어떨까?

말뚝의 축직각방향 스프링 정수는  다음과 같이 정의 되어 있다.    

여기서부터 엔지니어들은 머리가 아파진다.

대체 저 많은 수식들은 무엇을 의미하는 걸까?

2.2.2 확대기초 변위량의 계산법

변위법에서는 그림(1) 과 같이 좌표를 잡고 확대기초의 임의 한점 O를 원점으로 한 후, O점에 작용하는 외력을 도심에 위치하도록 정하고, O점의 좌표축 방향 변위 δ_x, δ_y 그리고 α를 그림의 방향으로 합친다. 도로교설계기준의 내용을 요약하면 다음과 같다.

이때 원점의 변위는 다음과 같은 3원 연립방정식을 풀어서 구한다.

(해설 5.8.41)

확대기초 바닥면을 수평으로 보면 각 계수를 해설 식 (5.8.42)에서 구한다.

(해설5.8.42)

Ⅲ. 설계기준에 대한 수식의 이해

본 절에서는 앞절에서 언급한 설계기준에 사용되는 각 수식들이 어떻게 나왔는지를 유도함으로서 엔지니어들의 말뚝변위법에 대한 이해를 돕고자 한다.

3.1 축직각방향 스프링 정수

설계기준에서 제시하고 있는 K₁~K₄의 스피링 정수를 그림으로 표현해 보면 다음과 같다.

앞선 컨텐츠에서는 외말뚝인 경우에 지중 말뚝의 변위를 계산하는 Chang(1937) 공식의 가정 사항 설명과 함께 변위식을 유도하여 보았다. (‘말뚝기초의 가상고정점 모델’편 컨텐츠 참조)

지중말뚝의 변위에 대한 기본식은 다음과 같았다.

이때, 반무한장 말뚝은  x = ∞, y = 0 (일정깊이 하에서의 말뚝의 수평변위는 없다는 가정) 이므로,  적분상수 C, D = 0인 것을 알 수 있다.

 

 

참고로 이때의 말뚝의 좌표는 옆의 그림과 같다. 이는 도로교 설계기준 5.8.11에서 취하고 있는 좌표계와 동일하게 취한 것이다.

(3.2절의 좌표와는 다른 것에 주의)

 

 

 

자, 그럼 상기의 식으로부터 도로교설계기준(2008) 5.8.8.2에서 정의하고 있는 K₁~K₄를 유도해 보도록 하자.

여기서는 흔히 사용하게되는 지중말뚝 중 말뚝머리 고정조건의 K₁ ~ K₄ 스프링 정수가 어떻게 나왔는지에 대해서 유도해 본다.

3.1.1 K₁, K₃ 유도

식(1)을 각각 길이 방향 x로 미분하면 다음과 같이 수식은 정리된다.

(변위를 미분하였을 때 나오는 수식의 의미는 재료역학시간에 배웠을 뿐만 아니라 지난 컨텐츠에서 다루었다.)

자, 설계기준에서 정의하는 K₁, K₃에 맞는 경계조건을 대입해 보자.

① K₁에 대한 경계 조건

② K₃에 대한 경계 조건

3.1.2 K₂, K₄ 유도

즉, 처짐식은 다음과 같다.

① K₂에 대한 경계 조건

② K₄에 대한 경계 조건

말뚝힌지인 경우에는 말뚝머리 고정인 경우 보다 쉽게 구해지므로 이 글을 보시는 엔지니어분들이 직접 계산해 보실 수 있으리라 믿는다.

3.2 변위계산법의 매트릭스 해법에 사용된 계수 유도

변위를 계산하는 3차원 방정식은 다음과 같이 매트릭스 형태로 표현이 가능하다.

변위 앞에 놓여진 각 계수들이 무엇을 말하는지 유도해 보자.

이 변위들의 수식이 다소 복잡해보이는 것은 말뚝이 직항이 아닌 사항인 경우를 포함하여 수식이 만들어 졌기 때문이다.

단일 말뚝이 경사졌을 경우에 수평력 및 수직력과 어떻게 연관이 되어지는지를 수식으로 정리해 보자.

(모멘트의 경우는 결국 강체기초의 회전과 도심에서의 말뚝간에 거리로 나타내어 지기 때문에 단일 말뚝으로 설명하기 어려운 점이 있어 단일말뚝인 경우에 쉽게 정리할 수 있는 수직력과 수평력을 대상으로 하였다.)

 

 

경사말뚝은 축방향이 말뚝의 Local 축과 Global축 두 개의 축이 존재하기 때문에 수식에 경사각 θ가 포함되어 유도되어진다.

여기서 주의해야 할 점은, K₁과 K_v는 Global축이 아닌 말뚝의 Local 좌표와 일치함에 유념하여야 한다.

도로교 설계기준에 나온 그대로 설명하기 위하여 3.1절과는 다른 방향의 좌표계가 취해졌음을 인지하시기 바란다.

 

 

Global 좌표의 변위는 Local 좌표의 변위를 이용하여 다음과 같이 표현이 가능하다.

 

이를 다시 Local 좌표로 변환하면 다음과 같다.

 

 

P = K·△란 기본식으로부터, 수평방향력 H_o에 대해 정리해 보자.

 

 

가 유도 되었다.

또한, V_o에 정리하면 다음 과 같다.

 

 

 

이 글을 보는 엔지니어들은 도로교설계기준에서 소개하는 말뚝의 변위법의 좌표 개념과 축방향 및 축직각방향 스프링의 방향을 이해한다면 나머지 계수들도 어떻게 나온 것인지 정리가 가능할 것이다.

마지막으로 엔지니어들이 조금 혼란스러울 수 있는 기초의 회전에 대한 영향을 수식으로 정리해 보고 이 절을 마치고자 한다.

기초의 회전변위는 말뚝의 축방향 변위를 유발하며, 이는 기초의 회전각과 각 말뚝의 도심까지의 거리에 비례하게 된다.

 

 

Global 자료로 발생한 변위를(δ_y) Local 좌표로 변환하면 다음과 같다.

 

 

 

 

앞서, K₂가 말뚝 두부의 회전변위와 관련된 축직각방향력인 것을 감안하여 수식 평형식에 넣어 정리해 보면 다음과 같이 정리된다.

 

 

 

이렇듯 변위법의 계수들은 말뚝 1개의 거동을 수식으로 유도한 수치들이며, 도로교 설계기준에서 각 수식들에 들어간 ∑(sigma) 기호는 말뚝기초의 거동이 개별 말뚝의 거동을 단순히 선형조합한다는 것을 보여준다.

Ⅴ. 결언

실질적으로 말뚝 변위법은 실무에서 말뚝기초 설계에 가장 많이 쓰이는 방법이다.

이는 매트릭스 형식으로 구성된 수식이 프로그램화 하기 용이하여, 엑셀로도 충분히 훌륭한 계산서를 만들 수 있고, 범용 설계보조 프로그램에 탑재되어 널리 보급되었기 때문이다.

하지만, 복잡해 보이는 수식으로 인해 이 방법을 처음 접하는 실무자들은 수식의 의미를 제대로 파악하지 못한 채 실무를 수행하고 있는 것 또한 현실이다.

본 컨텐츠는 변위법에 사용되는 계수들이나 수식들이 어떻게 나온 것인지 친절하게 설명된 문헌이 필자가 가지고 있는 문서안에서는 없기에, 수식들을 나름 정리해본 것이다.

실제로 혼자 이면지에 수식들을 정리해보면서 도출된 결과들이 동료엔지니어들과 공유해볼만 하다 싶어 이 글을 작성하였으나, 짧은 지식으로 인해 발생한 오류가 있다면 조언해주시길 바라 마지 않는다.

부디 이 글이 Civil엔지니어들의 성장에 한푼이나마 보탬이 되길 간절히 바래본다.

Reference

[1] 도로교설계기준 및 해설 (2008), 대한토목학회

[2] 구조물기초설계기준 해설 (2018), 한국지반공학회 

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