비선형 해석을 위한 콘크리트 재료모델

Ⅰ. 서론

구조물의 비선형 해석을 위해서 섬유 요소모델 같이 부재의 단면 안에 직접적으로 물성치를 넣어야 되는 경우나 유한요소해석 중 각각의 요소에 대해 물성치를 넣어야 되는 경우, 실험에 의해 신뢰도가 확보된 재료 물성치를 입력하게 된다.

일반적으로 항복점이 비교적 분명하고 소성구간이 긴 철근의 경우 물성치를 해석 프로그램에서 입력 하는게 어렵지 않지만, 곡선 형태의 응력-변형률 그래프를 그릴 때는 애를 먹는 경우가 있다.

대료적으로 쓰이는 콘크리트의 물성치는 modified kent&park 모델이나 mander 모델의 경우 몇몇 해석 프로그램에서는 해당 물성치 자체가 프로그램 내에 구현이 되어있어서 비교적 손쉽게 넣을 수 있지만,

• 경우에 따라 자신이 사용하는 해석 프로그램에서 재료 물성치 입력을 이선형, 삼선형 형태로만 지원해주는 경우도 많고,

• 새로운 기술과 고강도 재료들이 개발되면서 해당 재료들을 단면에 적용하게 되는 경우, 보편적인 수식으로 표현되지 않는 실제 실험 결과 그래프에 근거하여 물성치를 이상화 시켜 입력해야 하는 경우도 발생한다.

따라서 이번 글에서는 엑셀을 이용하여 곡선형 그래프를 이선형화(혹은 삼선형화) 시키는 방법에 대해 서술 하려한다.

어떤 형태의 재료그래프를 사용하든 관계없지만 이번 컨텐츠는 비교적 친숙한 mander 콘크리트 재료모델 그래프로 이선형화 하는 작업을 진행하려 한다.

Mander 모델은 전단철근의 영향이 콘크리트 초기 재료 강성에 영향을 주는 몇몇 모델과 다르게 그래프의 초기 강성이 콘크리트 탄성계수 Ec로 시작하기 때문에 이선형화 하기에 보다 적합한 재료모델이다.

이와 관련한 자세한 이유는 작업 진행에 대한 설명을 다하고 후술하도록 하겠다.

(본 컨텐츠는 실험그래프를 이선형화 하는 작업에 대한 설명이므로 최대 응력에서의 압축변형률, 파괴시의 압축변형률과 잔류강도를 특정 지침에 따르지는 않았습니다. 실험에 근거하지 않는 경우 본인이 적용하는 지침에서 제시한 변형률과 잔류강도를 반영하여 진행해야 합니다.)

Ⅱ. 실험그래프를 이선형화 하는 과정

그림 1 이선형화 예시로 쓸 그래프

 그림은 1988년의 mader모델에 기반하여 1994년의 Chang과 Mander의 논문을 참고한 재료 모델로,

• 콘크리트가 가정한 기대강도 21MPa에 도달하는 변형률을 εco= 0.0021로 두었을 때

• 해당 위치의 1.035εco = 0.00217 변형률까지 mander모델 수식을 따르고

• 그 이후로 3εco = 0.0063 변형률에서 잔류 강도가 0이 되게 선형적으로 감소하는 것을 가정한 그래프이다.

해당 그래프에서 εco에서의 기대강도와 1.035εco에서의 강도는 큰 차이가 없으므로 해당 구간을 기대강도 구간으로 보면 εco까지의 구간을 이선형화 하는 작업으로 삼선형화 작업이 마무리되게 된다.

이제 엑셀을 통한 이선형화 작업에 대해 본격적으로 설명을 시작하겠다.

1. 기존 콘크리트 재료 그래프를 가능한한 촘촘하게 등간격의 변형률 증분을 가지는 데이터로 치환한다.

• 뒤에서 사용할 수치 적분법 방식에 따라 오차률이 달라지지만, 본 컨텐츠에서 진행하는 것처럼 사다리꼴 방법을 사용할 거라면 까지 100등분 이상을 하는 것을 개인적으로 권장한다.

• 이때 지금 예시처럼 실험식을 이용해 데이터를 넣은 경우 변형률 값을 조정하면 되고 실험데이터라면 적절한 방법으로 보간하여 등간격의 데이터만 남긴다.

2. 적절한 방식의 수치적분을 사용하여 수치적분을 진행한다.

본 컨텐츠에서는 아래 그림과 같이 각 구간의 사다리꼴의 면적을 구하고, 각각의 사다리꼴의 면적을 누적하여 그래프의 면적을 구하는 사다리꼴면적법을 활용하였다.

그림 2 사다리꼴법 적용 구상

3. 가상의 이선형 그래프의 꺾이는 점 (이하 항복점) 에서의 강도를 기대강도와의 비율을 통해 표현한다.

이때 기대강도의 비율로 항복강도를 표현하는 것은 Mander모델이 기대강도점을 기준으로 만들어졌기에 콘크리트 강도가 변하더라도 항복점이 기대강도의 특정비율에서 크게 벗어나지 않는 이유도 있으나, 일반적인 프로그램에서 강도의 비율로 재료 물성치를 넣는 경우가 많기에 이렇게 표현하는게 범용적으로 이용하기 수월하다.

항복점의 강도를 가정하면 초기 강성에 의해 항복 변현률이 결정되는데, Mander모델의 경우 초기 강성은 Ec값에 수렴하므로 항복강도/Ec를 통해 구해진다.

다만 해당 값이 데이터의 변형률 증분값으로 나눠 떨어지지 않는게 일반적이므로, 이어지는 [4.]의 과정에서 초기 직선을 그릴 때 이와 가장가까운 데이터의 점까지 구현하게 하였다.

([1.]에서 데이터를 충분히 촘촘하게 만들지 않는다면 여기서 발생하는 오차가 상당히 커질 수 있다.)

4. 항복점을 가정하였을 때,

• 원점과 항복점을 잇는 초기 직선과,

• 항복점과 기대강도에 다다르는 점을 잇는 두 번째 직선,

이 두 개의 직선을 나타내는 그래프를 그릴 수 있게 위와 똑 같은 형태로 엑셀칸을 배치한다.

두 점 (x1,y1), (x2,y2)를 잇는 직선의 수식은 y= (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1) +y1 임을 이용하여 직선 데이터 시트를 만들 수 있으며, 원점과 항복점, 항복점과 기대강도에서의 점을 이용한다.

5. 2번째 직선의 그래프와 기존 재료 모델 그래프의 교차점의 위치를 찾는다.

별도의 수식을 고려할 필요 없이, If함수를 통해 그래프가 역전되는 위치를 찾으면 된다.

본인이 이용한 방식에서는 직선 1에서 항복점을 구현한 위치를 받아오는 if함수와 직선 2와 콘크리트 재료모델 그래프의 교차점을 찾는 if함수가 같이 걸려있다.

7. 두 직선의 그래프를 하나의 이선형 그래프로 구성한다.

이후 콘크리트 재료모델과의 교점의 왼쪽까지의 면적 합산 차이와 교점 부터 기대강도점까지의 면적 합산 차이를 각각 구한다.

본인이 만든 예시에서는 두 직선의 그래프를 하나의 데이터 테이블로 합치는 과정을 생략하고 수식을 걸었는데, 이 경우 왼쪽의 면적 합산의 차이는 (항복점까지의 직선1과 재료모델의 면적의 차이)+(항복점부터 교점까지 직선2와 재료모델의 면적의 차이)라는 것에 주의하여 수식을 짜면 된다.

8. 최종적으로 6.에서 구한 면적합의 차이를 더하여 면적합의 오차를 구한다.

이때 면적 합의 오차를 증폭시키는 셀을 옆에 만들어둔다. 이렇게 오차를 증폭시킨 셀을 이용하면 엑셀에 있는 “목표값 찾기”라는 기능을 이용 할 때 수렴성이 좋아진다.

9. 엑셀 내의 목표값 찾기 기능을 통해 기대강도에 이를 때까지 그래프의 누적 면적을 동일하게 만드는 항복점의 위치를 찾는다.

 이렇게 구한 재료 물성치는 비선형 구조해석 모델에 적용하여 사용할 수 있다.

Ⅲ. 맺음말, 고려해 볼 만한 사안

이번 컨텐츠에서는 비선형해석을 위해 재료 물성치 그래프를 이선형화 하는 작업에 대해 예시를 보여주었는데, 이때 유의해야 할 점은 면적 합을 맞추는 것만큼 초기 강성 설정이 굉장히 중요하다는 것이다.

초기강성을 높게 잡을수록 기대강도에 도달하기 전까지의 에너지 소산량을 다소 높게 잡는 경향을 보이며, 항복 이전과 이후의 강성변화가 커지게 된다.

초기강성을 높게 잡아 저변위에서의 에너지 소산량을 더 크게 고려하는 것은 정적해석, 동적해석 모두 저변위 거동에서 유리하게 해석된다.

또한 지진파를 이용한 비선형시간이력해석의 경우 초기강성으로 구한 고유주기를 기준으로 일정 범위에서 응답스펙트럼을 스케일링 하기 때문에, 구조물 전체적으로 초기강성을 높이고 항복 이후 강성을 낮게 잡게 되면 스케일링한 구간 밖으로 고유주기를 늘릴 가능성이 생겨 비선형 구간에서 하중이 과소 혹은 과대 평가될 수 있다.  

따라서 재료 물성치의 응력-변형률 그래프를 선형화 시키는 작업을 시작하기에 앞서 자신이 사용하려는 재료모델의 초기 강성이 어디에 수렴하는지 확인하고 그와 같게 초기강성을 설정하는게 일반적으로 추천된다.

또한 이러한 선형화 기법은 재료 물성치 뿐만 아니라 부재 자체의 성능곡선 묘사에도 이용되는데, 이력형 감쇠장치의 성능을 묘사하는 것이 대표적인 예이다.

KDS 41 17 00: 17.2.3 (5)에서 감쇠장치의 설계특성치는 상한계, 하한계 설계 특성치를 산정하도록 되어있는데, 이때 강성을 높게 잡으면 인접부재에 전달되는 하중의 크기가 커지고 강성을 낮게 잡으면 변형량이 커지게 된다.

추가적으로 일반구조기준에서 다루는 범위의 재료가 아닌 재료를 실험에 근거하여 적용하는 경우, 보다 정확한 해석을 위해,

• 해당 재료를 적용한 부재 및 그 인접 부재가 변형지배거동이라 판단할 수 있는 경우에는(기대강도 도달 이전에 취성 파괴되지 않는 경우)

• 탄성상태의 강성과 기대강도에 도달할 때의 유효강성 사이에 위치하는 수준으로 초기강성을 살짝 낮추어 이선형화 하는 것이,

재료의 기대강도에 이르기 이전 구간에서 에너지 소산량과 유효강성을 실제 값과 더욱 유사하게 묘사할 수 있다.

참고 문헌

1. CHANG, G. A.; MANDER, John B. 

Seismic energy based fatigue damage analysis of bridge columns: Part I-Evaluation of seismic capacity. Buffalo, NY: National Center for Earthquake Engineering Research, 1994.

1. MANDER, John B.; PRIESTLEY, Michael JN; PARK, R. Theoretical stress-strain model for confined concrete. 

Journal of structural engineering, 1988, 114.8: 1804-1826.

About the Editor

GK. Jeong

구조 엔지니어 경력 5년 이상

성능 설계 및 예비 설계 프로세스에 대해 전공하였던 엔지니어 입니다. 과거에 전시장, 종합체육관, 호텔, 아파트, 플랜트, 역사 등 다양한 설계 프로젝트에 참여하였고 현재는 댐퍼를 적용한 구조물의 성능설계를 일반적으로 하고 있습니다.

 

<정치,경제,철학,공학,과학, 온갖 지식에 대한 종합적 접근> 블로그를 운영하는 블로거로, 구조 엔지니어링에 필요한 전문 지식 외에도 엔지니어링 접근 방식에 있어 혁신적이고 창의적인 능력을 키우기 위해 여러 방면으로 공부를하고 있습니다.

 

초기 컨텐츠 제작자로 초대된 다른 분들만큼 높은 자격과 존경받을 지식을 가진 전문가라고 아직 스스로 생각하고 있지 않으나, 비루한 지식이라도 후배들에게 도움이 될 수 있도록 보다 성실히 글을 남기려 노력합니다.

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