비선형 해석을 위한 콘크리트 기둥의 FIBER요소 모델 및 집중소성힌지 모델 비교

Ⅰ. 서론

이번 컨텐츠에서는 비선형해석에서 주로 쓰이는 부재(element) 모델인 섬유요소모델과 집중소성힌지모델에 대해서 얘기하려고한다.

우선 해당 모델에 대해 언급하기에 앞서 구조해석 방법에 대해 먼저 얘기하도록 하겠다.

일반적으로 구조해석을 위한 계산 프로세스를 생각하면 구조해석은 하중, 강성, 변위에 대한 매트릭스 계산을 진행하는 것이다. 따라서 구조해석은 하중조건, 강성조건, 변위조건에 따라 나오는 응답을 구하는 과정을 의미한다 할 수 있다.

하중조건은 흔히 생각하는 직접적으로 넣는 하중들 외에도 입면의 형상(풍하중), 강성과 질량의 분포(지진하중) 상태 그리고 경우에 따라서는 발생가능한 열응력이나 기존에 발생된 내부응력 조건을 포함한다.

강성조건은 개별부재의 강성과 각각의 부재들 사이의 접합조건 그리고 강막효과나 등과 같은 구속조건, 그리고 지점(boundary) 조건 등을 포함한다.

변위조건은 하중을 대체하는 강제 변위나 설계시 계획한 치올림 등이 포함 될 수 있다.

이러한 매트릭스 계산을 진행하는 과정의 방식에 따라 응답 중 응답하중(부재력)을 먼저 계산할 수도 있고 변위를 먼저 계산 할 수도 있다.

이에 대해 설명하는 책마다 용어가 조금씩 다르지만, 본인이 과거에 배웠던 용어에 기반하여 설명하면,

Stiffness analysis 방식의 경우 외력과 내력의 관계식을 통해 자유도를 가진 격점의 변위를 구하고 이를 통해 부재력을 구하게 된다.

반대로 Virtual Work Principles Analysis 방식은 내부에너지(부재력과 변형의 곱)과 외력으로 작용한 에너지(외력과 변위의 곱)의 평형관계를 통해 부재력을 먼저 구하고 변위를 나중에 구하는 방법도 있다.

이렇게 구조해석 접근 방식에 대해 얘기하는 이유는 이번 컨텐츠에서 다루는 집중소성힌지모델은 변위기반해석 부재인데 반해서 섬유요소모델은 변위기반해석, 하중기반해석 모두에서 이용 가능하기 때문에 그 차이를 인지할 필요가 있기 때문이다.

하중기반해석 섬유요소모델은 내부 적분점 사이에 선형적인 모멘트변화를 가정하고, 해당 구간에서 각각의 섬유는 고정된 축력을 받으며,

변위기반해석 섬유요소모델은 적분점 사이에 선형적인 곡률변화를 가정하고 해당구간에서 각각의 섬유는 고정된 축변형률 값을 가진다.

단부 모멘트 값을 보다 정확하게 계산하는 하중기반 섬유요소모델이 변위기반 섬유요소 모델보다 정확도가 높지만, 유한요소해석 기능이 특화된 몇몇 해석프로그램들을 제외하고 대다수의 해석프로그램은 변위기반 섬유요소모델만을 지원하고 있다.

이것은 행렬 계산알 고리즘과 해석 결과 수렴 판별 알고리즘을 짜는데 변위기반 해석이 훨씬 편하기 때문이라고 개인적으로 추론한다.

특히 비선형해석에서 부재의 강도는 최대강도에 도달한 이후 다시 낮아지지만 변형은 항복 이후 다시 줄어드는 일이 거의 없기 때문에 변위기반 해석이 계산을 수렴시키기 수월하다.

Ⅱ. 섬유요소모델과 집중소성힌지모델의 이해

성능 설계 관련 국내 지침에서 다루는 섬요요소모델은 변위기반요소이고 다수의 해석프로그램에서 지원하는 섬유요소 모델이 변위기반요소이기에 이번 컨텐츠에서는 변위기반 섬유요소모델에 대해 다룬다.

변위기반 섬유요소 모델은 실제보다 부재의 휨강도를 다소 높게 평가하는 경향이 있다.

• 그러나 해당 부분은 적분점을 모멘트의 위험 단면에 바짝 붙여서 위치 시키는 방법으로 상당히 실제 수준과 가깝게 묘사할 수 있다.

• 이때 주의할 점은 해당 적분점이 기둥-보 접합부 내부에 위치하지 않도록 하는 것이다.

섬유요소모델은 부재의 단면을 부재 축방향에 대해 작은 단면적으로 분할하여(섬유) 분할된 각각의 단면에 1축 응력-변형률 재료 물성치를 넣은 부재 모델이다.

하나의 부재 내에는 여러 개의 적분점을 모델링 과정에서 위치시킬 수 있는데, 해당 적분점을 기준으로 곡률의 변화를 계산한다.  

이때 ε = κ * y 이므로 곡률과 중립축으로부터의 거리를 통해 각각의 섬유요소의 적분점에서의 축변형률이 계산되고, 축변형률에 대한 재료 물성치에서 각각의 섬유요소의 응력이 결정되어 이를 통해 해당 위치에서 모멘트가 계산된다.

여기까지가 섬요요소모델에 대한 기본적인 개념이었고, 이제 집중소성힌지 모델에 대해 얘기하겠다.

집중소성힌지 모델은 소성힌지의 강성과 연성능력을 zerolength 요소에 담고, 이것을 탄성요소에 붙인 형태이다.

이때 주의할 점은 소성구간의 강성은 소성 힌지의 개별 강성이 아니라 소성힌지와 탄성부재의 직렬연결에 대한 강성이라는 점이다.

때문에 zerolength라고 하여서 불필요한 소성 힌지를 중복시키면 강성을 낮게 보고 연성능력을 지나치게 좋게 보는 오류가 생길 수 있다.

이와 관련해서 철근콘트리트 건축구조물의 성능기반 내진설계 지침의 해그림은 힌지의 강성이 독립된것처럼 묘사를 하고 있어서 관련 개념이 부족한 사람들에게 혼란을 줄 여지가 있어보인다.

해당 내용에 대해 이해하기 쉽게 아래와 같이 참고할 그림을 그려서 남긴다.

집중소성힌지 모델의 경우 재료모델을 이용하지 않고, 부재의 강도에 대한 직접적인 실험 결과와 기존 연구자료에 근거하여 부재 강도에 대한 이력그래프를 결정한다.

따라서 근거로하는 실험데이터가 충분히 다양하고(강도, 사이즈, 가력조건 등을 포함) 합리적이지 않다면 집중소성힌지 모델의 신뢰성을 보장할 수 없다.

다행히 국내의 철근콘트리트 건축구조물의 성능기반 내진설계 지침에서 제시하는 집중소성힌지 모델은 최신의 연구에 기반하여 만들어졌기에 상당히 신뢰도가 있다고 생각한다.

그러나 집중 소성 힌지를 적용한 콘크리트 모델의 경우 균열 및 소성변형 발생에 따라 유효강성이 달라지는 것은 이력그래프의 강성 변화로 어느 정도 묘사가 가능하지만 기둥처럼 축력과 모멘트의 상관관계가 있을 때, 해석 정확도에 대해 우려할 부분이 생긴다.

기둥 부재 모델링시 기둥의 경우 P-M상관도를 따라서 축력에 따라 받을 수 있는 모멘트 내력 값이 달라진다.

또한 횡력의 변화에 따라 실제 작용하는 축력의 변화가 발생가능한데 실제로 받을 축력에 대해 사전에 예상하기 어렵다.

세 번째로 철근의 인장거동 중 변형도 경화 효과가 발현되면 P-M상관도 역시 증대되는데, 축력이 철근의 인장 변형률에 영향을 끼치기에 이 효과를 정량화 하기 어렵다.

실제로 비선형 정적해석의 경우 반복적으로 소성힌지의 물성치를 업데이트하면서 해석 값이 수렴할 때까지 반복하는 과정을 통해 해석의 신뢰도를 확보하지만, 비선형 시간이력해석을 진행한다면 예비 설계 단계에서 특정한 축력값에서의 성능을 가정하고 해석을 진행하는 것이기에 경우에 따라서는 섬유요소모델을 사용하는걸 권장하기도 한다.

하지만 섬유요소모델의 경우 재료 묘사와 적분점의 위치 등 신경 써야 할 입력 조건이 더 많고, 단면을 구성하는 섬유의 개수와 부재 내의 적분점의 숫자 만큼 실질적으로 해석 과정에서 계산량이 훨씬 많아지기에 해석 속도 면에서 마냥 권장하기도 어렵다.

그래서 직접 섬유요소모델과 집중소성힌지의 해석 결과를 비교하여 개략적인 차이를 인지해 보려 한다.

Ⅲ. 섬유요소모델과 집중소성힌지모델의 해석 진행 예시

구조 해석을 진행하는데 있어서 PERFORM3D(ver7)을 이용하였다.

검토한 콘크리트 기둥의 조건은 다음과 같다.

• 600 x 600[mm^2] 사이즈에,

• 순길이 3000mm,

• 콘크리트 기대강도[평균압축강도] 21MPa,

• 철근의 기대강도 468MPa (철근 콘크리트 건축구조물의 성능기반 내진설계 지침-[표4-2]에 따름)

• 주근의 직경 D22, 주근은 4열 12EA(정사각형 각 변에 4개씩 들어가는 배근)

• 띠철근 D11, 띠철근의 배근 간격은 150mm를 적용하였다.

• 축력은 개별기둥의 상단에서 100kN을 받고 있는 것으로 가정하였다.

부재모델 중 섬요요소모델에 적용한 콘크리트 물성치는 다음과 같다. (입력 단위는 kN, cm기준)

콘크리트 물성치 : 본인의 직전 컨텐츠 내용에 따라 구했던 mander model에 근거한 재료모델을 적용하였다.

철근의 재료모델은 기대항복강도를 이용한 2선형 재료모델을 적용하였다.

• 단, 압축철근은 콘크리트 극한변형률(편의상 0.0033이 아닌 0.003을 적용함)이상의 변형에 대해 좌굴을 고려하였다.

• 좌굴 시의 철근의 강도는 기대강도계수를 곱하지 않은 강도를 적용하여 축방향 취성 파괴에 대해 보수적으로 검토하였다.

섬요요소모델에서 콘크리트 섬유는 단면을 6x6으로 쪼개어 요소 하나 당 10000mm^2의 면적을 가지는 섬유를 적용하였고 철근은 주근 배근 위치에 따라 별도로 입력하였다.

이번에 진행하는 해석에서는 한 방향에 대해서 만 검증하기에 해석의 정확도를 위해서는 1x30과 같이 쪼개는게 한쪽 방향의 성능 그래프를 얻기 위해서는 더 유용하지만, 실무에서 적용하는 방식을 감안하여 합리적인 수준에서 섬유요소를 설정하였다.

마찬가지로 철근과 콘크리트의 면적이 겹치는 것을 고려하여 정확한 해석을 위해서는 철근의 강성과 항복강도를 (Es-Ec)/Es 만큼 곱하여 줄이는 과정이 필요하지만, 일반적으로 해당 효과는 허용가능한 범위이므로 적용하지 않았다.

적분점은 perform3d 프로그램에서 지원하는 범위 안에서 단부와 최대한 가깝게 위치시켰다.

집중소성힌지 모델의 경우 동일한 콘크리트 기둥조건에 대해 철근콘크리트 건축구조물의 성능기반 내진설계 지침에 따라 적용하였다.

해당 재료모델 계산용 엑셀파일은 http://aikkbc.or.kr 에 공개되어 있으며 관련 지침의 부록에 다운로드 연결 QR마크가 있으니 참고하면 되겠다.

힌지 사이의 탄성 단면은 기준에 따라 유효강성을 적용하여 이차단면모멘트 값을 입력하였다.

해석모델의 형태 및 구속조건 등은 다음과 같다.

그림 13 해석모델 구상

그림 14 적용하중 조건 및 해석 값을 뽑을 drift 기준점

수평 하중과 pushover를 위한 drift 참조 위치를 기둥 상단에 위치 시키지 않고 축하중만 기둥에 바로 작용 시키기 위해 위와 같이 다소 복잡한 구속 조건을 가진 모델링을 진행하였다.

이렇게 모델링을 하는 이유는, 전체 구조물의 밑면전단력을 drift에 대하여 해석결과 그래프를 뽑아서 정량적으로 비교하기 위함이다. 비록 축방향 변형은 무시 가능한 수준이라 하더라도, 굳이 해석 방식에 의해 발생되는 오차를 뻔히 알면서 무시할 이유는 없다.

집중소성힌지 모델은 모멘트 저항성능에 기반한 해석요소이고 외력으로 작용하는 모멘트는 작용하중과 지점과의 거리에 의해 결정되기에, pushover 해석시 단위 스텝당 일정한 크기의 모멘트 증가량을 외력으로 주면서 해석을 진행하기 위해 높이가 고정된 별도의 수평보를 위에 두고서 간접적으로 수평하중을 주어 해석 결과의 성능을 정량적으로 비교할 수 있게 하였다.  

이에 따른 해석 결과는 다음과 같다.

그림 15 총밑면전단력-DRIFT 곡선

빨간색 수직선은 집중소성힌지 모델의 기준상에서 collapse로 판단하는 한계 지점을 표시하였기에 그 이전까지의 그래프만 유효하다.

Ⅳ. 결론

여기서 추가적으로 고려해볼 만한 사항으로 앞서 말한 대로 섬유요소모델을 해석 방향으로 더 잘게 쪼갰을 때 해석 정확도가 더 높아지고, 철근 단면과 콘크리트 단면의 겹침에 따른 철근의 강도 및 강성을 조정하여 반영하면 다음과 같은 결과가 나온다.

그림 16 섬유요소단면을 정교화한 후 재비교

해당 해석 결과를 비교하여보면 집중소성힌지 모델이 섬유요소모델보다 항복강도는 더 보수적으로 평가하고 연성능력은 더 유리하게 평가하고 있는 것으로 보인다.

그러나 해당 해석 결과는 콘크리트재료강도 적용시 띠철근에 대한 구속 효과를 아예 없는 것으로 산정하고 철근의 좌굴과 콘크리트의 강도 저하가 즉각적으로 발생하는 것을 가정하여 섬요요소모델을 적용한 결과이기에 실제 기동의 거동은 집중소성힌지 모델과 유사할 가능성이 더 높다.

참고로 실제 실험체의 거동과 해당 모델을 비교한 그림은 ‘철근콘크리트 건축구조물의 성능기반 내진설계를 위한 비선형해석모델(2021)’에서 확인할 수 있다.

해당 그림에서 확인 할 수 있듯이 기둥에 작용하게 될 축력을 제대로 산정할 수 있다면 집중소성힌지 모델은 상당히 정확하고, 섬요요소모델을 정확도 높게 적용하려면 생각보다 많은 노고가 필요하기에 집중소성힌지 모델은 상당히 유용한 모델이다.

다만 앞서 말했듯 축력에 따라 연성능력, 항복모멘트, 유효강성 등이 변화하는걸 실시간으로 반영하지 못하기에 시간이력해석 등에 앞서서 보수적인 설계를 위하여 예비 설계 결과에 따라 축력 값을 산정할 때 주의를 할 필요는 있겠다.

그림 17 ‘철근콘크리트 건축구조물의 성능기반 내진설계를 위한 비선형해석모델(2021)’ 해그림

참고문헌

• 철근콘크리트 건축구조물의 성능기반 내진설계 지침(AIK-G-001-2021).대한건축학회

1. 철근콘크리트 건축구조물의 성능기반 내진설계를 위한 비선형해석모델(AIK-B-2021-001).대한건축학회

2. William McGuire, Richard H. Gallagher, & Ronald D. Ziemian (2014). Matrix Structual Analysis(second edition). 93~174, 277, 293.

About the Editor

GK. Jeong

구조 엔지니어, 블로거 경력 5년 이상

성능 설계 및 예비 설계 프로세스에 대해 전공하였던 엔지니어 입니다. 과거에 전시장, 종합체육관, 호텔, 아파트, 플랜트, 역사 등 다양한 설계 프로젝트에 참여하였고 현재는 댐퍼를 적용한 구조물의 성능설계를 일반적으로 하고 있습니다.

 

<정치,경제,철학,공학,과학, 온갖 지식에 대한 종합적 접근> 블로그를 운영하는 블로거로, 구조 엔지니어링에 필요한 전문 지식 외에도 엔지니어링 접근 방식에 있어 혁신적이고 창의적인 능력을 키우기 위해 여러 방면으로 공부를하고 있습니다.

 

초기 컨텐츠 제작자로 초대된 다른 분들만큼 높은 자격과 존경받을 지식을 가진 전문가라고 아직 스스로 생각하고 있지 않으나, 비루한 지식이라도 후배들에게 도움이 될 수 있도록 보다 성실히 글을 남기려 노력합니다.

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