포물선과 현수선을 적용한 케이블 좌표 및 무응력장 산정

1. 개요

등분포하중이 작용하는 케이블은 현수선 형상을 가지게 됩니다. 하지만 현수선의 경우 2차 포물선 식에 비해 다소 복잡하고 사장교 케이블의 경우 2차 포물선으로 가정해도 충분한 정확성을 가지기 때문에 실무에서는 2차 포물선식으로 가정하여 적용하는 경우가 많이 있습니다.

본 자료에서는 사장교 케이블에 현수선과 2차 포물선을 각각 적용하여 케이블의 좌표 및 무응력장을 산정하는 방법을 설명하고 두 방법의 오차가 어느 정도 발생하는지 비교해 보려 합니다.

2. 케이블의 좌표 

일반적인 사장교에서 WPA(보강거더 정착점)와 WPB(주탑 정착점)는 설계자가 설정한 좌표이므로, 계산해야 할 케이블 좌표는 WP1(거더측 Formwork tube 연단) WP2(주탑측 Formwork tube 연단)입니다.

케이블의 좌표는 케이블 방정식으로부터 계산할 수 있습니다.

2.1 현수선의 일반식

그림에 표현된 현수선의 일반식은 다음과 같이 표현됩니다.

일반식에서 상수 C1과 C2는 케이블의 WPA(X_A, Y_A)와 WPB(X_B, Y_B)의 좌표를 대입하여 연립방정식을 풀면 계산이 가능합니다.

2.2 2차포물선의 일반식

그림에 표현된 2차포물선의 일반식은 다음과 같이 표현됩니다.

현수선과 마찬가지로 일반식에서 상수 C1과 C2는 케이블의 WPA(X_A, Y_A)와 WPB(X_B, Y_B)의 좌표를 대입하여 연립방정식을 풀면 계산이 가능합니다.

3. 케이블의 무응력장

케이블의 무응력장은 케이블의 곡선길이에서 신장량을 뺀 값으로 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

3.1 현수선식

(1) 케이블 곡선길이 산정

케이블의 미소길이 :

이므로, 케이블의 길이는 케이블의 일반식을 이용하여 미소길이를 구간L에 대해 적분하여 구할 수 있습니다.

이 식을 정리하면,

(2) 케이블 신장량 산정

케이블의 신장량은 Hooke의 법칙으로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

이 식을 정리하면,

3.2 2차포물선식

2차포물선식을 적용한 케이블 곡선길이와 신장량 산정은 현수선식을 적용한 경우와 유사합니다.

(1) 케이블 곡선길이 산정

케이블의 미소길이 :

이므로, 케이블의 길이는 케이블의 일반식을 이용하여 미소길이를 구간L에 대해 적분하여 구할 수 있습니다.

(2) 케이블 신장량 산정

케이블의 신장량은 Hooke의 법칙으로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

4. 계산예시

4.1 제원

(1) 대상교량 제원

대상 교량의 최외측 케이블에 대해 계산을 수행하였으며, 본 계산 예시에서 케이블의 교직방향 좌표는 고려하지 않았습니다.

 (2) 케이블 제원

• 케이블 종류 : PWS케이블

• 단면적 : 2,117 mm²

• 탄성계수 : 2.0x10⁵ MPa

• 자중(w) : 0.1825 kN/m

• 장력(T) : 1,180.3 kN

• 케이블 경사각(α) = 0.625 rad

• 수평방향으로 분포하는 연직력(q) :

• 수평력(H) :

• 거더측 정착점 좌표(WPA) : x=3.650m, y=37.957m

• 주탑측 정착점 좌표(WPB) : x=165.450m, y=154.605m

• WPA~WP1까지의 연직거리(Δy1) : 1.000m

• WPB~WP2까지의 수평거리(Δx1) : -1.500m

4.2 현수선식을 적용한 계산

(1) 현수선 일반식 산정

(2) WP1 좌표 산정

WP1의 y좌표가 38.957m이므로 현수선의 일반식으로부터,

(3) WP2 좌표 산정

(4) 케이블 곡선길이 산정

(5) 케이블 신장량 산정

(6) 케이블 무응력장 산정

케이블 무응력장 = 곡선길이 - 신장량 = 199.389 - 0.556 = 198.833m

4.3 2차포물선식을 적용한 계산

(1) 포물선 일반식 산정

(2) WP1 좌표 산정

WP1의 y좌표가 38.957m이므로 포물선의 일반식으로부터,

(3) WP2 좌표 산정

(4) 케이블 곡선길이 산정

(5) 케이블 신장량 산정

(6) 케이블 무응력장 산정

케이블 무응력장 = 곡선길이 - 신장량 = 199.388 - 0.556 = 198.832m

4.4 결과비교 

현수선과 2차포물선 식을 각각 적용하여 검토한 결과 거의 차이가 없는 것으로 비교되었습니다.

5. 검토결론

• 등분포하중이 작용하는 사장교 케이블은 현수선 형상을 가지게 되지만 실무에서는 2차 포물선 식을 적용하는 경우가 많이 있어 현수선 식과 케이블 식을 적용한 결과를 비교하였습니다.

• 현수선 식은 쌍곡선함수가 들어가서 수식이 복잡해보이지만 케이블 곡선길이와 신장량 계산시 적분과정 없이 계산이 가능하다는 장점이 있습니다.

• 2차포물선 식은 일반식이 비교적 간단해서 케이블 좌표 산정은 간단하지만 케이블 곡선길이와 신장량 계산시 적분과정이 필요하여 다소 복잡합니다.

• 케이블 좌표와 곡선길이, 신장량을 비교한 결과 유의미한 차이는 없는 것으로 검토되었으므로, 두 가지 방법 중 설계자가 선호하는 방법으로 계산에 적용하면 될 것으로 판단됩니다.

About the Editor

작은연못

구조 엔지니어 경력 10년 이상

국내 설계사에서 10년 이상 근무하며 주로 케이블교량의 설계를 담당하였습니다.

실무에서 경험한 내용들이 다른분들께 도움이 되지 않을까 하여 컨텐츠를 작성하였습니다.

감사합니다.

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